一、基础概念
1、任意角
（1）角的概念：角是由平面内一条射线绕其端点旋转而成的图形。
（2）角的表示：（角的元素有：顶点、始边、终边）
如图：∠α或者∠AOB
顶点：射线的端点O
始边：射线的起始位置OA
终边：射线的终止位置OB
（3）角的分类：
①零角：当射线没有旋转时，始边和终边在同一条直线上，二者没有夹角，即，夹角为0度。
②正角：射线按逆时针方向旋转形成的角。
③负角：射线按顺时针方向旋转形成的角。
（4）终边相同的角：
一般地，我们把终边落在同一射线上的两个的角称为终边相同的角。设任意两角分别为α、α'，则有α=α'+360°K，K∈Z。
2、角度制与弧度制
（1）角度制：
①周角的1/360称为1度的角
②1度的1/60为1分，1分的1/60为1秒，度、分、秒分别符号表示为'' ° ''、'' ' ''、'' '' ''。
（2）弧度制：
①长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
②如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为L，那么，角α的弧度数为|α|=L/r。
（3）弧度制与角度制互相转换公式：
①1°=兀/180 rad
②1 rad=（180/兀）°≈57.3°
3、弧长公式与扇形面积公式（α是角度制下的，|α|是弧度制下的）
（1）弧长公式：
①角度制：L=α×兀×r/180°
②弧度制：L=|α|×r
（2）扇形面积公式：
①角度制：S=α×兀×r^2/360°
②弧度制：S=1/2×L×r=1/2×|α|×r^2
（证明略，可参考初中数学之圆）
4、象限角
（1）概念：如果一个角的终边不经过坐标轴上（即落在坐标轴之间），那么，把这个角叫做象限角。
（2）分类：（k∈Z）
①第一象限：0°+k×360°＜α＜90°+k×360°
②第二象限：90°+k×360°＜α＜180°+k×360°
③第三象限：180°+k×360°＜α＜270°+k×360°
④第四象限：270°+k×360°＜α＜360°+k×360°
5、界限角
（1）界限角的概念：如果一个角的终边落在坐标轴上，那么，把这个角叫做界限角。
（2）界限角的分类：（k∈Z）
①x轴正半轴：α=0°+k×360°
②x轴负半轴：α=180°+k×360°
③y轴正半轴：α=90°+k×360°
④y轴负半轴：α=270°+k×360°
归纳一下：
① x轴：α=K×180°，K∈Z。当K为偶数时，α在非负半轴上；当K为奇数时，α在非正半轴上。
② y轴：α=90°+K×180°，K∈Z。当K为偶数时，α在非负半轴上；当K为奇数时，α在非正半轴上。
总结：x、y轴：α=K×90°，K∈Z。当K为偶数时，α在x轴上；当K为奇数时，α在y轴上。
二、任意角的三角函数
1、三角函数的定义
设α是平面直角坐标系中的一个任意角，且角的顶点与原点重合，始边与x轴正方向重合，P(x.y)是角α终边上的任意一点，且该点到原点距离为r(r=√x^2+y^2 >0)，那么，sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=sinα/cosα=y/x（x≠0），cotα=cosα/sinα=1/tanα=x/y(y≠0)分别叫做角α的正弦、余弦、正切，余切。
特殊角的三角函数值如下表：
2、单位圆
半径为1的圆叫做单位圆，如图：
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)、A’(-1,0)，与y轴的交点分别为B(0,1)、B'(0,-1)。
设角α的顶点为圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于M，则由三角函数的定义可知，
点P的坐标为(cosα，sinα)，即α的终边与单位圆的交点P的横坐标x等于cosα=x/r，纵坐标y等于sinα=y/r。
三、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1、同角三角函数
证明略：可以根据三角函数的定义。2、诱导公式
(1)α+2K兀(K∈Z)的诱导公式：
①cos(α+2K兀)=cosα
②sin(α+2K兀)=sinα
③tan(α+2K兀)=tanα
(2)-α的诱导公式：
①cos(-α)=cosα
②sin(-α)=-sinα
③tan(-α)=-tanα
证明：如图，若α的终边在第一象限，交单位圆于P点，作终边关于x轴的对称边，交单位圆O于P'，则P'(cos(-α)，sin(-α)）。
所以，cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα。
同理可得，任意非x轴角的终边与其相反角的终边一定是关于x轴对称的。当α的终边在x轴上时，公式成立。所以，cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα(α在y轴上时，此值不存在）。
(3)兀±α的诱导公式:
①cos(α+兀)=-cosα
②sin(α+兀)=-sinα
③tan(α+兀)=tanα
证明：若α的终边在第一象限，延长终边起点交单位圆于P'’，则P''(-cosα，-sinα)(经过圆心的直线即为直径，其为P关于圆心的对称点），而直线PP''的角度为平角，所以优弧AOP''的圆心角即为α+兀。
所以，cos(α+兀)=-cosα，sin(α+兀)=-sinα，tan(α+兀)=tanα
同理可得，任意角α的终边与角α+兀的终边一定是关于原点对称的。
所以，cos(α+兀)=-cosα，sin(α+兀)=-sinα，tan(α+兀)=tanα(α在y轴上时，此值不存在）。
④cos(兀-α)=-cosα
⑤sin(兀-α)=sinα
⑥tan(兀-α)=-tanα
证明：若α的终边在第一象限，延长角-α的终边交单位圆O于P'''， 因为OP'为角-α的终边，所以OP'''为角-α的终边，P'''(-cos(-α)，-sin(-α))=(-cosα，sinα)。
同理可得，任意非y轴角α的终边与角-α的终边一定是关于y轴对称的。当α的终边在y轴上时，tanα不存在。
所以，cos(兀-α)=-cosα，sin(兀-α)=sinα，tan(兀-α)=-tanα(α在y轴上时，此值不存在）
(4)兀/2土α的诱导公式:
证明：（1）若α的终边在第一象限，交单位圆于P，设P的坐标为(x，y)，OP=r，在Rt△POM中，OP=r，OM=x，PM=y，∠α+∠OPM=90°，cosα=sin∠OPM=x/r，sinα=cos∠OPM=y/r。所以sin(兀/2-α)=cosα，cos(兀/2-α)=sinα，tan(兀/2-α)=1/tanα。由此可以推导：sin(兀/2+α)=-sin(-兀/2-α)=sin(兀-兀/2-α)=sin(兀/2-α)=cosα，cos(兀/2+α)=cos(-兀/2-α)=-cos(兀-兀/2-α)=-cos(兀/2-α)=-sinα，tan(兀/2+α)=-1/tanα。
（2）（思路：构造两个终边落在第一象限的角，且它们的角度和为兀/2）若α的终边在第二象限，则兀-α的终边落在第一象限；α-兀/2的终边也落在第一象限。
所以，sin(兀-α)=cos(α-兀/2)，sin(α-兀/2)=cos(兀-α)，化简整理可得，sin(兀/2-α)=cosα，cos(兀/2-α)=sinα，tan(兀/2-α)=1/tanα，sin(兀/2+α)=cosα，cos(兀/2+α)=-sinα，tan(兀/2+α)=-1/tanα。
（3）同理，若α的终边在第三象限，则构造α-兀和兀+兀/2-α两角，结果相同；
（4）若α的终边在第四象限，则构造兀/2+α-2兀和2兀-α两角，结果相同。
（5）若α的终边在界限上时，也满足公式。
四、和、差、倍、半的三角函数公式
证明1：如图，设在单位圆O中，向量OP与向量OQ为同一起点且在第一象限的两个向量，与x轴正半轴的夹角分别为α、α'（已更改），P=(cosα，sinα)，Q=(cosα'，sinα')，所以，向量OP=(cosα，sinα)，向量OQ=(cosα'，sinα')，且|向量OP|=|向量OQ|=1，两向量的夹角为α-α'。
根据向量夹角公式，cos(α-α'）=向量OP×向量OQ/(|向量OP|×|向量OQ|)= cosαcosα'+sinαsinα'，所以，cos(α+α')=cos【α-(-α'）】=cosαcosα'-sinαsinα'。
又根据诱导公式，可以得到任意角的两角和差余弦公式都成立。
证明2：可以根据诱导公式——sin【兀/2-(α+α')】=cos(α+α')，就可以推出，且对于任意角均成立。
证明3：利用同角三角函数关系式——tanα=sinα/cosα(cosα≠0)化简整理即可得到。
证明4：利用1、2的公式。
证明5：如图所示。
五、正弦、余弦、正切（型）函数
1、周期：一般地，如果对于函数y=f(x)，其定义域为D，如果存在一个非零常数T，当x取定义域内任意值时，且x+T∈D，都有f(x)= f(x+T)，那么，函数y= f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期。而三角函数的周期中，若存在一个最小的正数，则把这个正数叫做三角函数的最小正周期，简称周期。
2、正弦函数
（1）表达式：正弦函数的表达式为y=sinx（x∈R）。
（2）图象：我们通过大量的实际计算与测量，得出：正弦函数的图象是可以利用特殊点的连线，且各连线是光滑的曲线，则称五点作图法（五点法）。
于是，将正弦函数的各个特殊点用光滑的曲线连接起来，得到下图。
（3）性质：
定义域：R
值域：【-1，1】
最值：当x=兀/2+2K兀(K∈Z)时，y(max)=1；当x=3兀/2+2K兀(K∈Z)时，y(min)
=-1。
周期性：正弦函数的周期是2兀
奇偶性：奇函数【f(-x)=-f(x)】
单调性：根据图象可得，当x∈【-兀/2+2K兀，兀/2+2K兀】（K∈Z）时，函数为增函
数；当x∈【兀/2+2K兀，3兀/2+2K兀】（K∈Z）时，函数为减函数。
对称性：对称中心：函数图象与x轴相交的点（K兀，0）(K∈Z)，对称轴方程：x=K兀+
+兀/2（K∈Z），（一定经过最值的，即在y轴上）
3、余弦函数
（1）表达式：余弦函数的表达式为y=cosx(x∈R)。
而根据诱导公式，余弦函数的图象可以通过正弦函数的图象向左平移兀/2个单位得到。
（2）图象：
（3）性质：
定义域：R
值域：【-1，1】
最值：当x=2K兀(K∈Z)时，y(max)=1；当x=兀+2K兀(K∈Z)时，y(min)=-1。
周期性：余弦函数的周期是2兀
奇偶性：偶函数【f(-x)=f(x)】
单调性：根据图象可得，当x∈【-兀+2K兀，2K兀】（K∈Z）时，函数为增函数；当x∈【2K兀，兀+2K兀】（K∈Z）时，函数为减函数。
对称性：对称中心：函数图象与x轴相交的点（K兀+兀/2，0）(K∈Z)，对称轴方程
：x=K兀（K∈Z）（一定经过最值的，即在x轴上）
4、正切函数
（1）表达式：正切函数的表达式为y=tanx【x≠K兀+兀/2(K∈Z)】
（2）图象：
（3）性质：
定义域：x≠K兀+兀/2(K∈Z)
值域：R
最值：无最值
周期：兀
奇偶性：奇函数【f(-x)=-f(x)】
单调性：根据图象可知，函数在（-兀/2+K兀，兀/2+K兀）(K∈Z)上为增函数，且无
减区间。
对称性：对称中心：函数与x轴的交点（K兀，0）(k∈Z)，无对称轴
5、正弦型函数
（1）概念：一般地，形如y=Asin(wx+u)+c(A、w、u、c为常数且A、w≠0)的函数，
叫做正弦型函数。定义域为R，值域为【-A，A】。
（2）周期：（与A、c无关，与wx+u有关）
因为正弦函数的周期是2兀，
设wx+u=t，y=f(x)=Asint+c(A、t≠0)，函数y的周期为2兀，
y=f(x)=Asint+c=Asin(t+2兀)+c=Asin(wx+u+2兀)+c=Asin【(2兀/w+x) w+u】+c
=f(x+2兀/w)
又因为三角函数的周期为正数，所以周期为：T=2兀/|w|。
同理可得，余弦型函数的周期公式同上，而正切型函数的周期公式为T=兀/|w|。
（3）图象（正弦型曲线）：
作图根据五点法，把wx+u看成是x，再来求x的值，依次描出各点，再用光滑的曲线连接
。（图略）
（4）图象的平移与放缩：
平移：不改变函数图象，大小，只是改变图象的位置。
上下平移：将函数图象上下移动，横坐标不变，只是增加了函数值。上加下减：若函数y
向上平移k（k＞0）个单位，则y+k；若函数y向下平移k个单位，则y -k。
左右平移：横坐标改变，函数值不变。
左加右减：若函数y向左平移k个单位，则y=Asin(wx+kw+u)+c(A、w≠0)；若函数y向右平移k个单位，则y=Asin(wx-kw+u)+c(A、w≠0)
放缩：横坐标扩大或缩小和纵坐标扩大或者缩小。
横坐标不变，纵坐标扩大k倍或缩小1/k（k≠0）倍，则y×k；纵坐标不变，横坐标扩大
k倍或缩小1/k倍，则y=Asin(wkx+u)+c(A、w≠0)
正弦型函数的五点：（-u/w,0）（-u/w + T/4,A）（-u/w + T/2,0）（-u/w + 3T/4,
-A）（-u/w + T,0）
（5）在物理中，正弦型函数y=Asin(wx+u)(A、w、u为常数且A、w＞0)表示振动量，
x表示振动的时间，y表示离开平衡位置的位移，A叫做振动的振幅，周期为T=2兀/w，
频率为f=1/T=w/2兀，wx+u叫做相位，当x=0时，u叫做初相。
（6）辅助角公式（两角和差的正弦公式逆推导）：
一般地，把函数y=asinx+bcosx(a、b≠0)转化成正弦型函数的形式，可以先设以点（a，b）为角α终边上的点，sinα=b/√(a^2+b^2)，cosα=a/√(a^2+b^2)，tanα=b/a，证明可参考三角函数的定义。
所以y=asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sinxcosα+sinαcosx=√(a^2+b^2)sin(x+α)。
研究余弦、正切型函数方法、理论可参考正弦型函数。
6、正弦定理与余弦定理
（1）正弦定理：
①在直角三角形ABC中，若角C为直角，则sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1，a/sinA=c，b/sinB=c，c/sinC=c，所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
②在锐角三角形ABC中，过C点作AB的垂线，交AB于D点，设CD=h，则sinA=h/b，sinB=h/a，a/sinA=b/sinB，同理以BC为底作高，则有c/sinC=b/sinB，所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
③在钝角三角形ABC中，角C为钝角，过C点作AB的垂线，交AB于D点，设CD=h，则sinA=h/b，sinB=h/a，a/sinA=b/sinB=ab/h，sinC=sin（∠ACD+∠BDC）=ch/ab，c/sinC=ab/h，所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
正弦定理：在三角形中，各边与它所对角的正弦之比相等。即，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(外接圆直径，证明可参考下图2)，
（2）余弦定理：（已知三角形的两边及其夹角，求第三边。很显然，在直角三角形中，
这个问题很容易，所以，我们只研究锐角和钝角三角形。）
若在锐角三角形ABC中，过点C作AB的垂线交于D点，设CD=h，AD=m，BD=n(h、
m、n＞0)。
a^2=n^2+h^2=b^2-m^2+n^2=b^2+(n-m)(n+m)=b^2+c(n-2m+m)=b^2+c^2-2mc=b^2+c^2-2bccosA，
同理，b^2= a^2+c^2-2accosB，c^2=a^2+b^2-2abcosC。
将上述公式进行变形，得到：
cosA= (b^2+c^2-a^2)/2bc，cosB= (a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=( a^2+b^2-c
^2)/2ab。
（3）面积公式：（在三角形中，已知两边及其夹角，求面积）（只研究锐角和钝角三
角形)
如图，若在锐角三角形ABC中，已知sinA、b、c，CD⊥AB，设CD=h，则面积S=1/2
hc=c/2×sinA×b=bcsinA/2。
同理，S=absinC/2=acsinB/2。
所以，任意三角形的面积公式为：S=bcsinA/2=absinC/2=acsinB/2。
三角函数能帮助人类解决很多问题