在此公式中，Σ后面的是指（因变量的值—因变量的预测值）的平方。使用这种方法来估计b$0和b$1得值，我们可以通过对X和Y的观察拟合一条线，从而最好地解释Y对于任何特定X值所取得值。
注意，我们在回归模型中观察的并不是总体参数值b0和b1。我们所观察的是b$0和b$1，它们是总体参数值的估计值。因此，预测必须基于参数的估计值，而检验也必须基于与假设参数值相关的估计值。
下面我们来看一个例子，假设我们要估计六个发达国家的年通货膨胀率（因变量）与货币供应量年增长率（自变量）之间的回归关系。下表显示了六个国家（n = 6）从1980年到2016年的货币供应量年均增长率和年均通货膨胀率。
下图给出了使用线性回归的直观案例。该图展示了一个散点图，上表中每个国家的数据都作为一个点进行了标记，然后我们通过以下公式进行估计得出线性回归的结果：
长期通货膨胀率= b0 + b1（货币供应量的长期增长率）+ε。六个数据点中，每个点到拟合回归线的垂直距离是回归残差，它是因变量的实际值与由回归方程得出的因变量预测值之间的差。线性回归通过对公式1中的系数b$0和b$1进行估计，以使垂直距离的平方和最小。经过估计得出的回归方程为：长期通胀= –0.0008 + 0.3339（长期货币供应量增长率）。
根据此回归方程，如果某一国家的长期货币供应量增长率为0，则该国家的长期通货膨胀率预计为–0.08％。一个国家的长期货币供给增长率每增加1个百分点（例如，从3％增至4％），则长期通货膨胀率预计将增加0.3339个百分点。在这种包含一个自变量的回归中，斜率系数等于Cov（Y，X）/ Var（X）。下表显示了如何从已知数据中计算斜率系数。将各个国家的平均货币供应量观察结果表示为Xi，将各个国家的年平均通货膨胀率记录为Yi。国家下边的两列显示了斜率系数的两个计算要素：样本协方差和X的样本方差。Cov(Y,X) = 0.0007577Var (X) = 0.0022691 Cov(Y,X)/Var (X) = 0.0007577/0.0022691 b$1= 0.3339 由上图所示，从1980年到2016年，这六个国家的货币供应量长期平均增长率为9.16％，长期通货膨胀率的平均值为2.98％。在线性回归中，拟合的回归线穿过对应于因变量和自变量均值的点。
因为点（9.16，2.98）位于回归线上，所以我们可以用以下公式求出截距：
b$0 = - 0.0298 – 0.3339 (0.0916) = 0.0008
通常，分析师可以使用excel或统计软件上的数据分析功能来进行线性回归分析。
在之后，我们将讨论如何使用回归残差来对回归模型中的不确定性进行量化。
文/边际实验室，转载请务必注明出处